1.
À quoi correspond le nombre 877 ?

Au numéro du catalogue BWV (BACH WERKE VERZEICHNIS) d’un des préludes et fugues du CLAVIER BIEN TEMPÉRÉ.

Cliquer sur le bouton pour écouter ce prélude et fugue.

Chaque tableau de cette série CANTORS’S NUMBERS est consacré à un nombre entier, allant de 846 à 893, ces nombres correspondant aux n° de catalogue des préludes et fugues du CLAVIER BIEN TEMPÉRÉ.

Premier “cahier” de cette oeuvre : les n° de catalogue BWV 846 à 869

Second cahier de cette oeuvre : les n° de catalogue BWV 870 à 893.

2.
qu’est-ce que cette série a à voir avec le motif B-a-c-h supposé être partout dans la production perles de verre ?

Il y a deux réponses :

2a
Réponse musicale

Le motif B-A-C-H (si bémol-la-do-si) apparaît dans la toute dernière fugue de l’ART DE LA FUGUE, qui est, avec le CLAVIER BIEN TEMPÉRÉ, un sommet de la construction architecturale systématique de fugues.

Le CLAVIER BIEN TEMPÉRÉ comporte 2 x 24 fugues sur des thèmes différents (dans 12 tonalités possibles et 2 modes possibles : majeur ou mineur), alors que l’ART DE LA FUGUE comporte plusieurs fugues basées sur des variations d’un seul et même thème. Mais dans sa toute dernière fugue, Bach introduit un motif de quatre notes (le motif musical B-A-C-H) et commence à composer une fugue sur ce motif, qui sera inachevée.

2b
Réponse graphique

Le motif B-A-C-H est représenté, sous forme de permutations (B-A-C-H ou B-A-H-C ou B-C-A-H, etc, il y a 24 possibilités) par les quatre rectangles (rouges dans le tableau consacré au nombre 877, bleus dans celui consacré au nombre 880)

Comme c’est l’usage sur les logiciels d’écriture musicale (qui proposent non seulement la notation en petites notes de solfège, mais aussi une notation en rectangles), la ligne du haut correspond à la note la plus haute, qui est le do (le C), la ligne du bas correspond à la note la plus basse du motif, qui est le la (le A).

Sur le tableau bleu, l’ordre des lettres est donc C-A-H-B, alors que sur le tableau rouge, c’est l’ordre C-H-A-B.

Attention, le graphisme associé au motif B-A-C-H peut prendre deux formes :

Forme 1 : celle du mouvement géométrique utilisé par exemple dans les tableaux DROITES II ou pour la séparation au milieu des tableaux de la série OPUS 28, qui donne aussi le logo (protégé) de notre dispositif (voir en-dessous du tableau bleu).

Forme 2 : les rectangles sur les tableaux de cette série CANTORS’ NUMBERS.

3.
d’oÙ vient le titre CANTORS’ NUMBERS de cette série

Il s’agit d’une allusion directe à des nombres associés à deux CANTORS célèbres ayant produit une partie de leurs oeuvres dans un même espace géographique LEIPZIG / HALLE.

Tous deux, chacun à sa manière, nous fait sentir l’infini !

CANTOR n° 1
L’infini musical

D’abord Jean-Sébastien Bach, appelé le CANTOR DE LEIPZIG, premier des deux cantors donnant le titre à cette série. Les nombres choisis sont les nombres entiers de 846 à 893, qui sont, comme indiqué au point 1 ci-dessus, une référence directe au catalogue des oeuvres BWV.

Chacun des 48 tableaux de cette série est consacré à un de ces 48 nombres.

CANTOR n° 2
L’infini mathématique

Il s’agit du mathématicien Georges Cantor, inventeur de la théorie des ensemble, qui a démontré que l’idée de l’infini en mathématiques était plus compliqué que la simple distinction fini / non fini, c’est-à-dire que la définition “infini = non fini” était trop simple pour caractériser ce qui se passe quand on étudie les propriétés des ensembles de nombres “infinis”.

Cantor a démontré dans ses travaux, qu’il y avait plusieurs catégories d’infinis en mathématiques, et qu’en quelque sorte, il y a des infini “plus infinis” que d’autres, ou si l’on préfère, contenant beaucoup plus de choses que l’infini le plus immédiatement compréhensible pour un non mathématicien : l’infini dit dénombrable, consistant à compter sans jamais s’arrêter.

les nombres écrits en haut et en bas du tableau font directement allusion à ce théorème de mathématiques appelé Théorème de Cantor, selon lequel l’ensemble des nombre entiers est un infini (dit dénombrable) beaucoup plus petit (même s’il est infini) que l’ensemble des nombres réels, comportant tous les nombres compliqués comme des exponentielles, des cosinus et des sinus, des logarithmes, etc.

Le nom de cet autre infini est, en mathématique, ce qu’on appelle l’infinitif du continu.

4.
comment ont été choisis les nombres écrits en haut et en bas du tableau pour illustrer le théorème de cantor ?

Tout en haut à gauche, il est écrit une sorte de N majuscule avec deux barres, qui symbolise, en mathématiques, l’ensemble des nombres naturels, c’est à dire les nombres entiers successifs que l’on compte depuis l’enfance, 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc, avec une particularité mathématique, qui est de commencer par 0.

On remarque sur le tableau n° 870 que cela commence par le nombre 295, suivi de 296, 297, 298, 299, etc, jusqu’à se terminer par 302, suivi de trois petits points et une fermeture de parenthèse,

Cette série de nombres est précédée par le comptage depuis 0, 1, 2, 3, 4, 5 jusqu’à 294 (qui se trouve sur le tableau précédent de cette série, le n° 869, au même endroit en haut à gauche du tableau, comme nombre final de la séquence de comptage.

Le comptage continue sur le tableau suivant de cette série (le n° 871) en commençant par le nombre 303, suivi de 304, 305, 306, etc.

Cette manière de symboliser le comptage jusqu’à l’infini est une allusion directe à l’oeuvre du peintre Roman Opalka.

D’autres écritures en haut du tableau représentent d’autres ensembles infinis construits de manière analogue, qui ont tous la même taille (on appelle cela un cardinal, dans le langage de Cantor), correspondant à l’infini dénombrable.

En bas du tableau, il y a une série de nombres plus compliqués, tous fabriqués à partir du nombre de base du tableau (ici 870). Le premier nombre est ln(870), c’est-à-dire le logarithme naturel (népérien) du nombre 870, qui est 6,76849321…, un nombre dont le développement décimal est illimité (les chiffres après la virgule ne s’arrêtent jamais). Ce nombre est ce qu’on appelle un nombre “transcendant”, c’est à dire un nombre appartenant à l’ensemble des nombres “réels” qui ne peuvent pas se réduire à des opérations simples sur des entiers, que ce soit des quotient (nombres rationnels) ou des racines (nombres algébriques), etc,

Il y a d’autres nombres de ce genre, tous transcendants et tous fabriqués à partir du nombre de base de ce tableau (870).

À la fin de la partie du haut et de la partie du bas, il y a des notations mathématiques plus abstraites qui font allusion à l’impossibilité, démontrée par Georges Cantor, de mettre en correspondance exacte (ce qu’on appelle une bijection en mathématique) les ensembles du haut (de taille infinie dite “dénombrable” et l’ensemble des nombres réels du bas illustré par des nombres transcendants, dont la taille correspond à l’infini dit continu.